数列

等差数列 (Arithmetic Series)

定义

等差数列是指每一项与前一项的差（称为公差）相等的数列。设等差数列的首项为 $( a )$，公差为 $( d )$，第 $( n )$ 项为 $( a_n )$。

第 $( n )$ 项公式

$a_n = a + (n-1)d$

前 $( n )$ 项和公式

等差数列的前 $( n )$ 项和记为 $( S_n )$。

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

或者等价地： $S_n = \frac{n}{2} (a + a_n)$

图解

1. 数列项数和公差：数列从 $( a )$ 开始，每一项增加 $( d )$，形成的数列如 $( a, a+d, a+2d, \ldots )$。

2. 求和过程：

   • 将数列的前 $( n )$ 项从前往后排列为 $( a, a+d, a+2d, \ldots, a+(n-1)d )$。
   • 将数列的前 $( n )$ 项从后往前排列为 $( a+(n-1)d, a+(n-2)d, \ldots, a )$。
   • 将两列数列相加，每对元素和均为 $( 2a + (n-1)d )$。
   • 共有 $( n )$ 对这样的和，因此总和为 $( n \cdot (2a + (n-1)d) )$。
   • 由于两列数列相加计算了两次前 $( n )$ 项和，故最终结果为 $( S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) )$。

等比数列 (Geometric Series)

定义

等比数列是指每一项与前一项的比（称为公比）相等的数列。设等比数列的首项为 $( a )$，公比为 $( r )$，第 $( n )$ 项为 $( a_n )$。

第 $( n )$ 项公式

$a_n = ar^{n-1}$

前 $( n )$ 项和公式

等比数列的前 $( n )$ 项和记为 $( S_n )$。

• 当 $( r \neq 1 )$ 时：

$S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}$

• 当 $( r = 1 )$ 时：

$S_n = an$

图解

1. 数列项数和公比：数列从 $( a )$ 开始，每一项乘以 $( r )$，形成的数列如 $( a, ar, ar^2, \ldots )$。

2. 求和过程：

   • 将数列的前 $( n )$ 项和记作 $( S_n )$，即 $( S_n = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^{n-1} )$。
   • 将 $( S_n )$ 乘以 $( r )$，得到 $( rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^n )$。
   • 将两个方程相减，得到 $( S_n - rS_n = a - ar^n )$。
   • 整理得到 $( S_n (1-r) = a (1-r^n) )$。
   • 由于 $( $r \neq 1$ )$，可以得到 $( $S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}$ )$。

示例

1. 等差数列：设首项 $( a = 2 )$，公差 $( d = 3 )$，求前 5 项和。 $S_5 = \frac{5}{2} [2 \cdot 2 + (5-1) \cdot 3] = \frac{5}{2} [4 + 12] = \frac{5}{2} \cdot 16 = 40$

2. 等比数列：设首项 $( a = 2 )$，公比 $( r = 3 )$，求前 4 项和。 $S_4 = 2 \frac{1-3^4}{1-3} = 2 \frac{1-81}{-2} = 2 \frac{-80}{-2} = 2 \cdot 40 = 80$

希望这些图解和示例能帮助你更好地理解等差数列和等比数列的前 $( n )$ 项和的求解过程。