排列组合

1. 排列（Permutation）

排列是指从一组元素中按照顺序挑选若干个元素，每种顺序视为不同的排列。关键点在于顺序很重要。

• 公式：如果从 n 个元素中挑选 r 个进行排列，则排列数为： $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ 其中，$n!$ 表示阶乘，即 $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$。

• 示例：从 {a, b, c} 三个元素中挑选两个进行排列，有 $P(3, 2) = 3!/(3-2)! = 6$ 种可能的排列：ab, ac, ba, bc, ca, cb。

2. 组合（Combination）

组合是从一组元素中挑选若干个元素，而不考虑顺序。组合和排列的区别是顺序不重要。

• 公式：如果从 n 个元素中挑选 r 个进行组合，则组合数为： $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

  其中，$r!$ 表示 r 的阶乘。

• 示例：从 {a, b, c} 三个元素中挑选两个进行组合，有 $C(3, 2) = 3!/(2!(3-2)!) = 3$ 种可能的组合：{a, b}, {a, c}, {b, c}。

排列与组合的区别

• 排列：顺序不同则为不同情况。例如，ab 和 ba 是不同的排列。
• 组合：顺序不同但内容相同则视为同一种情况。例如，ab 和 ba 是相同的组合。

例子

1. 排列问题： 如果有 5 本书，要挑选 3 本进行排列，排列方式有多少种？

   • 解答：$P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{1} = 60$。

2. 组合问题： 如果有 5 本书，要挑选 3 本进行组合，组合方式有多少种？

   • 解答：$C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$。